Analysis – Nichtlinearität, Gedächtnis und Zufall

Im Bereich der Analysis möchten wir die Forschung von Prof. Petra Wittbold und PD Dr. Aleksandra Zimmermann auf dem Gebiet der nichtlinearen Evolutionsgleichungen skizzieren. Mit Hilfe von Evolutionsgleichungen wird die zeitliche Entwicklung von Systemen beschrieben, wobei zur adäquaten Beschreibung komplexer Fragestellungen aus Biologie, Medizin, Physik, Ingenieurwissenschaften sowie Wirtschafts- und Sozialwissenschaften nichtlineare Modelle notwendig sind.

Zur Beschreibung der Entwicklung solcher Prozesse sind Gedächtnis- und Zufallseffekte wesentlich, die nicht nur uns Menschen in unserem aktuellen sowie zukünftigem Handeln beeinflussen. Dies können wir beispielhaft an Filtrationsprozessen illustrieren: Beinhaltet eine Flüssigkeit, die durch ein poröses Medium strömt, Partikel, die mit diesem Medium interagieren (z.B. sich in den Poren festsetzen), so ändert sich das Strömungsverhalten im Verlauf der Zeit: ein typischer Gedächtniseffekt. Um die Heterogenität des Mediums, Interaktionen auf unterschiedlichen Skalen und die Ungenauigkeit von Messdaten zu berücksichtigen, werden die Modelle durch zufällige Parameter ergänzt. In den vergangenen zwei Jahren lag ein Schwerpunkt auf der Erforschung der Wohlgestelltheit von nichtlinearen Evolutionsgleichungen mit Gedächtnis und Zufallseffekten. Zahlreiche Forschungsprojekte wurden in Kooperation mit mathematischen Instituten in Brasilien und in Frankreich durchgeführt. Im Rahmen eines eigenen Drittmittelprojektes hat Dr. Aleksandra Zimmermann zusammen mit einer interdisziplinären Forschungsgruppe des Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique (LMA) der Universität Aix-Marseille Resultate zur Modellierung der Grenzflächen von Verbundstoffen unter Berücksichtigung stochastischer Effekte erzielt.

Geometrische Aspekte von Evolutionsprozessen stehen auch im Zentrum der Forschung der AG von Prof. Paola Pozzi, die insbesondere neue Resultate zu Krümmungsflüssen erzielen konnte. Diese Flüsse beschreiben zum einen die Veränderung von Oberflächen in physikalischen Prozessen, die häufig durch die Minimierung von Oberflächenspannungen beschrieben werden können, andererseits können diese auch dazu genutzt werden, Klassifikationsresultate zur Gestalt geometrischer Strukturen zu erzielen, wenn es gelingt zu zeigen, dass die Grenzkonfigurationen der Flüsse spezielle geometrische Eigenschaften tragen. In einer Kollaboration mit Mathematiker*innen aus Australien und Japan ist es gelungen, neue Existenzresultate für Flüsse dieser Art zu erhalten. Im DFG-Projekt zum Fluss elastischer Netzwerke werden in den kommenden Jahren gemeinsam mit Arbeitsgruppen in Ulm und Taiwan Fragen zur Langzeitevolution von Netzwerken unter verschiedenen Flüssen untersucht.