Institut für Experimentelle Mathematik

Eine ausgewogene Mischung von Grundlagenforschung und anwendungsorientierten Forschungsbeiträgen gemäß der interdisziplinären Konzeption des IEM bieten hervorragende Möglichkeiten zur schnellen Nutzbarmachung der Forschungsergebnisse.

Die Forschungsaktivitäten der Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik wurzeln in einem Grundprinzip der Mathematik, das besagt, dass eine mathematische Struktur durch das Studium ihrer Symmetriegruppe besser verstanden werden kann. Dadurch können gruppentheoretische Methoden – die diskreter Natur sind – zum Studium von Fragen aus Geometrie, Algebra, Zahlentheorie, Topologie, Funktionstheorie und verschiedenen Anwendungsgebieten wie Kodierungstheorie und Kryptographie eingesetzt werden. 

Die Arbeitsgruppe arbeitet sowohl an der Bereitstellung der benötigten gruppentheoretischen Hilfsmittel als auch an deren Anwendung in anderen Disziplinen. Vieles davon beruht wesentlich auf dem Einsatz moderner Computeralgebrasysteme wie GAP, MAGMA und MAPLE.

Konkrete Forschungsthemen sind hochsymmetrische algebraische Kurven und Riemannsche Flächen, das Umkehrproblem der Galoistheorie, Charakter- und Darstellungstheorie endlicher Gruppen, explizite Konstruktionen von Präsentationen und Darstellungen, Permutationsgruppen mit fixpunktarmen Elementen, Kodierungstheorie und Kryptographie.

An dem Lehrstuhl für Mathematische Methoden der Datenübertragung wird die mathematische Theorie der Kommunikation erforscht. Gründungsvater dieser Disziplin und Vorbild für die Arbeitsgruppe ist Claude Elwood Shannon (1916–2001), der 1948 das Standardwerk „A Mathematical Theory of Communication“ veröffentlichte und damit den mathematischen Grundstein der digitalen Kommunikation legte. 

Die Arbeitsgruppe versucht – ähnlich wie Shannon damals – das Problem unzuverlässiger digitaler Kommunikation zu lösen. Sie arbeitet unter anderem an der Frage: Wie kann eine Nachricht, die von einem Sender kodiert und versandt, aber durch eine Störung im Kommunikationskanal unvollständig übermittelt wurde, vom Empfänger ohne Informationsverlust dekodiert werden? – Grundlagenforschung, die in der heutigen digitalisierten Welt zunehmend an Bedeutung gewinnt.

Neben der Kommunikationstheorie der Datenübertragung setzt der Lehrstuhl vier weitere Schwerpunkte: Technische Kommunikation, Mehrnutzerkommunikation, Kodierungstechniken und Datensicherheit. Ein großes, langjähriges Forschungsprojekt zur Technischen Kommunikation war die Entwicklung von Übertragungs- und Kodierungsmethoden für die Übertragung von Daten via Stromnetz.

In einem aktuellen Projekt im Rahmen der Datensicherheit werden neue Public-Key-Verfahren auf der Basis der Faktorisierung von endlichen Gruppen untersucht und entwickelt. Die Sicherheit eines solchen gut entworfenen Systems wäre im Gegensatz zu den heute benutzten Public-Key-Verfahren auch noch für das kommende Zeitalter des Quantencomputers garantiert.

In einem weiteren aktuellen Forschungsprojekt werden die Grundlagen sicherer Übertragung biometrischer Daten erforscht. Denn ob Fingerprint oder das Erfassen der Physiognomie von Gesichtern – biometrische Daten verändern sich und erschweren somit die einwandfreie Erkennung durch Sicherheitssysteme. Außerdem ist die sichere Speicherung der biometrischen Daten  für die Gesellschaft von großer Bedeutung.

Sicherheitssysteme zu optimieren und kritische Infrastrukturen wie Energie-, Telefon- oder Verkehrsnetze zu schützen, beinhalten auch immer Aufgaben für Datenübertragungsexperten.

Der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftungslehrstuhl „Technik der Rechnernetze“ konzentriert seine Forschungsaktivitäten auf zwei Bereiche: Neue Netztechnologien, ihre Netzkonzepte und die zugehörigen Protokolle auf der einen Seite, und aktuelle Aspekte der Netzsicherheit auf der anderen. Im Bereich der Internetprotokolle forschte der Lehrstuhl erfolgreich in einem gemeinsamen DFG-Projekt mit der Hochschule Münster an der systematischen Bewertung und Weiterentwicklung des Transportprotokolls SCTP. Besonders die Arbeiten zur gleichzeitigen Nutzung mehrerer Netzwerkpfade (Concurrent Multipath Transfer) führten zu wichtigen Ergebnissen und entsprechend hochrangigen Veröffentlichungen.

In einem durch das BMBF geförderten Projekt zu grundlegenden Architektur- und Sicherheitsfragen für das „Future Internet“ wurden die beiden Kompetenzbereiche des Lehrstuhls zusammengeführt und mit Fraunhofer Fokus und der TU Kaiserslautern im Rahmen der deutschen G-Lab-Initiative weiter entwickelt.

Erkennung von Betrugs- und Missbrauchsversuchen bei der IP-basierten Telefonie (Voice over IP) sowie die Entwicklung entsprechender Schutzverfahren sind weitere Gebiete, auf denen erfreuliche Erfolge erzielt wurden. Hier konnte unter anderem zusammen mit Frauenhofer Fokus und mehreren mittelständischen Unternehmen ein neues, vom BMBF gefördertes Projekt begonnen werden. 

Daneben sind Forschungsarbeiten zur Sicherheit von Peer-to-Peer-Netzen ein weiteres Schwerpunktthema. Die Forschungsaktivitäten des Lehrstuhls leisten damit einen Beitrag dazu, das heutige und das künftige Internet für die vielfältigen Sprach- und Multimedia-Anwendungen besser und sicherer nutzbar zu machen. Ziel des Lehrstuhls ist es, die Forschungsergebnisse – neben der Publikation in internationalen Veröffentlichungen – auch direkt in die relevante Standardisierung einzubringen um sie weltweit praktisch nutzbar zu machen. 

Das Arbeitsgebiet der Arbeitsgruppe Zahlentheorie ist die arithmetische Geometrie und algebraische Zahlentheorie. 

Das grundsätzliche Anliegen der algebraischen Geometrie ist, die Struktur der Lösungsmenge von polynomialen Gleichungen geometrisch zu verstehen. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung  y2=x3+Ax+B, mit ganzen Zahlen A und B, die in der Regel elliptische Kurven definieren. Ein gutes Verständnis elliptischer Kurven und ihrer Parameterräume ist in der theoretischen Zahlentheorie ebenso von großer Bedeutung wie bei Anwendungen in der Kryptographie.

Anstelle von Kurven kann man auch analog definierte höher-dimensionale Abelsche Varietäten betrachten. Ein reizvoller Aspekt ist der, dass man mit der modernen algebraischen Geometrie geometrische Intuition auch auf zahlentheoretische Fragen anwenden kann. Ein Ziel ist der Beweis der im Langlands-Programm festgehaltenen Vermutungen über die Symmetrie der Nullstellenmengen von Polynomen in einer Unbestimmten mit ganzzahligen Koeffizienten. Neben klassischen Resultaten wie dem Satz, dass es für Polynome vom Grad mindestens 5 eine allgemeine Lösungsformel wie für  quadratische Gleichungen nicht geben kann, gab es auf diesem Gebiet auch in den letzten Jahren noch große Fortschritte, und es gibt weiterhin viele offene Fragen.

Die Arbeitsgruppe Zahlengruppe befasst sich sowohl mit der Forschung an aktuellen theoretischen Fragestellungen, als auch dem weitreichenden Einsatz expliziter, algorithmischer und experimenteller Methoden: Tiefe Einblicke beruhen oft auf der Kenntnis nur mit dem Computer berechenbarer Beispiele, und andererseits erweist sich ein fundiertes Verständnis theoretischer Zusammenhänge häufig als sehr fruchtbar oder gar unerlässlich, um bislang unmögliche Berechnungen durchzuführen und neuartige Anwendungsmöglichkeiten zu erschließen.